【环球新要闻】学不明白的数学分析（四十一，下）
2023-01-18 12:39:44
来源:哔哩哔哩
我们接着上一篇继续~
（二）简单图形逼近
(资料图片)
简单图形，突出一个简单。如果能够被表示成有限个两两无公共内点的闭正方形的并，则称为一个（二维）简单图形。简单图形显然一定是闭Jordan可测集。（命题1）
我们对逼近有一个直观的认识，Riemann和就是逼近的一个我们最熟悉的例子。那么，简单图形逼近，指的又是什么呢？逼近是如何去做的呢？
下面的引理就说明了这样的一件事情：
设为开集，是一个连续可微映射。为一闭Jordan可测集。若，则有：
其中，为一关于取定的简单图形。
这一证明用到我们上面证明过的定理。对任意的，取：
因为是Jordan可测的，故为一零面积集。所以存在有限个开正方形，使得：
我们可以证明，这些开矩形与都相交。（命题2）另外，我们知道：
因此，就有：
于是有：
由上述已证定理，我们知道：
则：
我们现在取一个闭正方形，使得：
对这个闭正方形，我们做均匀分割（即将边长均等分）。我们记：
则有：
于是：
证毕。
最后，我们来证明在特殊条件下的换元公式：
设为一个开集，，，是一个闭Jordan可测集。若：
（1）
（2）在上是单射；
（3）函数在上是单射；
（4）对任意的闭矩形，都有：
从这一命题的条件看，我们就能知道简单图形逼近的结论对我们这一问题的研究有着重要的意义。事实上对任意的，有：
于是很显然地，我们得到了结论。
（三）简单变换情形
所谓简单变换，就是变换前后，只有某一分量结果改变，而其他分量结果不变。也就是：
那么对于简单变换情况的证明，我们交给大家来独立思考~
（节省篇幅，顺便也给大家练习的机会）
（四）一般情形
限于篇幅，且一般情况下我们也不太会涉及到真正地对这一公式进行证明，更多的是理解到这一定理内部所蕴含的各种思想，因此将这部分内容以图片的形式展示给大家。
那么，到此，我们对重积分换元公式的完整证明就结束了~
可以说，这一下半部分虽然篇幅不大，但是却是主要内容。重积分换元公式可以说是相当重要的内容，深刻理解这一定理有助于我们提升分析的能力。当然，应用换元公式进行积分计算也是一项基本技能~
我们前面关于二重积分的所有论述，都可以平行推广至三重甚至是n重的情况，所有的证明只需要将涉及到维数的表达对应改为待研究的维数，其余的部分不做改动都可以。因此，我们不再过多论述。
另外，重积分部分还有一个应用章节，这一部分不作为分析学重点，我们不做介绍。
至此，重积分章节的全部内容结束！
思考：
证明（一）中的两个（其实是三个）引理；
证明命题1；
证明命题2；
证明待证；
证明简单变换下的二重积分换元公式；
计算下列重积分：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
证明：
证明：
证明：
最後の最後に、ありがとうございました！
